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主動思考：貼近數學的心跳，來自【UDN 買東西購物中心】，作者：林福來 主編 陳建誠、許慧玉、楊凱琳 編著出版社：開學文化事業股份有限公司出版日期：20151113語言：中文繁體 ISBN：9789869177979裝訂：平裝。NEWS由North、East、West和South 四個英文單字的字首組合而成，亦即蘊含自東、西、南、北等四面八方匯集而來的新資訊。過去，民眾若要購物，必須東市、西市都得走一趟，「買東西」、「南北貨」一詞由此而生；「買東西」，英文就是Shopping。 因此，udn news是讓您得知東南西北而來的新資訊，「udn shopping、udn 買東西」則是為您搜羅大江南北新鮮貨的最佳平台；也代表「udn買東西」集結「新品、新鮮、新奇」的平台特色。
主動思考：貼近數學的心跳
作者：林福來 主編 陳建誠、許慧玉、楊凱琳 編著出版社：開學文化事業股份有限公司出版日期：20151113語言：中文繁體 ISBN：9789869177979裝訂：平裝。
主動思考：貼近數學的心跳
內容簡介：《主動思考：貼近數學的心跳聲》呈現多位在職中學數學老師的設計案例，他們都以促進學生主動思考為目標，意圖將原本以教師為中心的傳統教學轉變成學生為中心的教學，主動參與教學活動序列設計、實驗、反思與修正。透過師培者、同儕和學生的相互激盪，形塑出可行的教學活動序列，並促成自己的專業成長之歷程。
藉由這些設計案例，本書說明：
(1)教師如何利用隨手可得材料為起點進行設計，例如，學生經驗中的迷思或困惑，教學資源中的試題或遊戲，數學知識中的公式或性質……等材料；
(2)教師如何將這些材料轉變成學生為主的活動內容，例如，激發學生主動參與的趣味活動，鼓勵學生主動建構與檢驗的操作活動，引發學生主動建構、觀察、轉換和反思的探索或臆測活動……等；
(3)教師如何從師培者、同儕與學生處獲得回饋，並促成改變與成長。這些現場教師的設計經驗，可以提供給所有數學教師參考，特別是以學生為中心的教學設計者，可從模仿或修改這些案例著手，正所謂「他山之石可以攻錯」。
作者簡介：林福來 主編美國復旦大學博士英國劍橋大學數學教育碩士國立師範大學數學系講座教授作者群陳建誠(明志科大助理教授)、許慧玉(新竹教大助理教授)、楊凱琳(臺師大副教授)試閱內容 :工作單設計案例
從迷思出發
在數學教學中，常見學生有各種迷思，如「和用加法、差用減法」的關鍵字迷思、「乘會變大、除會變小」的運算迷思、「以加法解比例問題」的策略迷思、「零點九九循環小於1」的動態無限迷思、「3的倍數加6的倍數為9的倍數」的推理迷思，以及「和的平方等於平方的和」的交換迷思等等，皆是學生在學習過程中，可能產生疑惑或困難，然而，這些迷思可用來設計成，促進學生思考的工作單嗎？若可以，該如何進行？學生學習表現會有何不同？教師本身有何改變？這節將以廖惠儀老師所設計的〈你可以再靠近一點！0.9循環與1〉為案例進行說明。
一、見證成長的美麗足跡1.「 等於1嗎？」
在廖老師的教學經驗中，七、八年級學生在學習「數與運算」或「無理數」單元時，會提出「 等於1嗎？」的問題，無論學生向老師提問的原始想法為何，但正因是學生主動提出的疑惑，故可作為主動思考的第一步，她說：「學生主動提出一個數學的問題，真正令感到他們感到「好奇、有趣」，這不正是學生主動思考絕佳的第一步嗎？」學生對此問題感到好奇、有趣，同時，數學教師亦對於如何處理此問題，感到困難，她說：「曾有教師在休息時間向教授提問，「當學生問到會不會等於1的問題時，該如何解釋？」此時，許多原本正在休息的數學教師們，紛紛望向提問者與教授。可見，這不只是個令學生感興趣的問題，亦是個令教師感到不易回答的問題。」針對這同時吸引學生與教師的問題，要如何設計出可提供教師參考的教案，並促成教師自身的成長，成了廖老師的目標，她說：「基於上述兩個理由，研究者在此次工作坊中，不自量力地以「 與1」為研究題目。期盼在教授與伙伴們的協助與砥礪中，能提出一個可供教師參考的教案，更是見證自己成長的一道美麗的足跡」。
2.「 不等於1！」廖老師為瞭解曾在高中學過用無窮等比級數推論「 =1」的人，是否仍保有此印象，於是找了三位高中已畢業多年的人進行訪談，而他們皆認為 不等於1。其中一位是大學已畢業多年，且修習社會科系(國中社會科輔導團老師)的A先生，他認為 不等於1，因 表徵著永遠的可能和努力空間，不論數學家如何想，他有自身情感上的思考。以下是廖老師(T)訪談A先生的摘錄內容：
T：帥哥，你覺得0.9 ?會等於1嗎？A：不會耶，我會說趨近於1。
T：所以你覺得不會「等於」？A：不會啊，這種感覺就如我常說的名言，完美並不美。
T：太深奧了，願聞其詳。A：沒有所謂的完美，若完美就失去了再努力與改變的可能。1若表徵為完美，0.9的循環就是永遠的可能與努力的空間。
T：那如果我宣告0.9 ?會等於1，你會覺得是錯的囉？A：數學有你的專業考量，人文則有我情感上的思考。
T：你的意思是說，儘管你可能認同我的推論，但情感上，你會覺得兩個不相等？A：畢竟數學不是我的專業，妳是數學知識，我是數學意識，知識是絕對客觀，意識是人的揣摩。
另一位則是在學的大學生，修習理工科系的B先生，他雖記得高中數學曾經證明過 等於1，但他還是直覺地認為 不等於1，可說 近似於1，但從工程觀點來看，若在誤差的容許範圍內，可將 看成相等於1。以下是廖老師(T)訪談B先生的摘錄內容：
T：帥哥，你覺得 會等於1嗎？B：不會。
T：是喔，為什麼？B：直覺，以前好像算過。但若仔細一想，應會等於1。
T：為何你又覺得它們會等於呢？B：一直0.9999999999999999999999....... 好像可以證明耶，可是忘記怎麼證明了，高中數學。
T：你是有「印象」覺得應會相等？B： 一開始不等於1，是因覺得就算還有一點點的差，它還是有差。
T：那後來為什麼你又覺得會相等了？B：因為覺得那一點點的差，對於工程上面似乎可忽略，故覺得可近似於1。
T：可是近似於跟相等好像還是不一樣耶……B：但覺得可直接當作1來看，雖近似於跟相等不同。工程人久了，有些觀念會制式化，太正規，應該說太隨便，只要能用就好。安全係數不要太小就好，不會造成危險，管他那麼多。
第三位則是在學的研究生，修習理工科系的C先生，他認為 不等於1，但在不同的「精確度」要求下， 可以等於1，例如精確位數為個位，小數以下第一位四捨五入後就都是1。即使廖老師追問兩者若不同，那兩數的差值應該是多少時，他以物理所定義的最小單位原子來說明，差值為最小正數，並以「 」來表示。以下是廖老師(T)訪談C先生的摘錄內容：
T：帥哥，你覺得 會等於1嗎？C：看精確度啊，若精確度只有小數點0位數，管他點多少都是1。
T：那不理會精確度，純粹就思維來說的話？C：不是理工的應該都會說不相等吧
T：怎麼說？C：寫程式0和1沒弄清楚會出人命的，特別是醫院診療和醫療影像軟體。
T：可是是 ，可不是 0 喔...C：我知道啊，所以說要看精確度。若只是一公尺的距離，角度差個0.00001度不會有差別。但萬一是太空探險，距離有一光年那怎麼辦呢。
T：那如果精確度是無限大，你覺得會一樣嗎？C：還是不一樣啊！
T：怎麼說？C：之前寫程式遇到一個很有趣的問題， ，因記憶體大小有限，所以並不是循環小數。大概是0.333333333× 3換變成0.99999999這樣。話說在數學裡面為什麼會相等？
T：因為若不相等的話，那他們相減應會得到一個數，對嗎？C：嗯嗯。
T：可是他們相減能得到什麼呢？C：這太好玩了！請問強子對撞機讓兩個原子相撞，有撞出什麼更小的粒子嗎？再問若真的找到基本粒子，這樣上帝是真的存在嗎？全是觀點問題啦！
T：經過剛剛的討論，你會相信 ＝1嗎？C：不會。因為相減還不等於 0，是等於 。
3.「 =1，但…」
廖老師亦訪談了一些國中數學教師，對此問題的處理方式，他們大多以代數方式處理：「令 ，則 ，兩式相減可得 ，因此 ，即 」。如訪談的某位國中數學教師說：「用代數方法證明吧！至於在無限的範疇中可以這樣用嗎？我現在只能用國中生的想法思考。」另一位被訪談的國中數學教師表示，代數方法雖被認為不恰當，但他也只記得此方法，他說：「印象中有聽過教授說，這樣做（代數方法）好像是不對的，可是我只記得這個方法。對於無限循環小數可化為分數，我通常都帶過去。」。在高中數學課程中，是將循環小數看成是收斂的無窮等比級數，因此「 =1」的論述便以此為基礎，也就是「 」表示無窮等比級數「 」，因此，預先假設極限必收斂後，才進行運算的代數處理方式，被看成是錯的，例如廖老師班上某位學生家長，恰為高中數學教師，這位數學老師(家長)認為上面描述的代數方式，是一種「誤解」，而正確的解法應該如下：
廖老師還引用數學教授單維彰(2008)，發表在科學月刊的「無窮循環小數」一文，調合國中數學教師與高中數學教師，對此問題的教學觀點。單教授認為對於沒有無窮等比級數基礎的學生，教導使用代數方法，計算無窮循環小數的等值分數，不能說是誤導或錯的，雖此方法只簡略說明，並無告知學生全部事實，未來學習只需增加概念而毋須修改，他說：「許多教師知道如何用代數方法，計算無窮循環小數的等值分數。以 為例，令x＝ ，則10x＝3＋x，所以9x=3，所以x＝ ，也就是 ＝ 。有些教師則擔心，這種教法會誤導學生而不敢使用。其實毋須多慮，此教法並無說謊亦非誤導，只是略過一個技術性細節而已：先證明循環小數必然收斂，前述作法是正確的。而我們知道循環小數沒有不收斂的，故暫時不告訴學生全部事實，並無誤導：學生將來只須增加觀念，不須修改觀念。」，單教授並以孩子常問媽媽「我是從哪裡來的？」的問題為譬喻，說明誤導和簡略說明的差異，他說：「媽媽若回答『一隻鳥把妳叼到家門口，我把妳撿進來的』就是誤導（對大部分的家庭而言）；但媽媽若回答『天使把妳放進我的肚子裡，我辛苦把妳懷到夠大後才生出來』並不算說謊，只是隱瞞了一點技術性的細節而已」。
4.你可以再靠近一點！
廖老師經由質性訪談，與文獻資料整理後，針對國中生設計三個子活動，活動一是提問兩數差值，意圖製造認知衝突，並促進思考，她說：「我保留問話的方式，『若不相等的話，他們相減會是多少？』通常此時，他們(學生)會產生認知衝突，並開始思考問題的答案為何？」活動二則是利用時數的稠密性，意圖再製造認知衝突並促成思考，她說：「若你覺得這兩個數不相等的話，那0.9循環會在這裡，那1會在這邊，可是什麼數介於0.9循環到1的中間呢？之後讓他思考這個問題。」活動三則是引導學生利用代數計算，得出兩數相等的結果，雖然廖老師安排此活動，但她不認為此活動對學生學習會有幫助，她說：「這個代數式是個無用的式子，因你跟他講後，他會出現『你在變魔術』的感覺，他會認為你只是用個式子在騙他，因而我覺得此式子對於他的學習，就是0.9循環會等於1，這個感覺完全無任何幫助。」這份工作單設計最主要用意，並非要學生接受或記住「 =1」，而是讓學生能留下思考方法，她說：「我覺得此題目值得做，是因就算最後你不能夠讓他相信說這兩個數會相等，但當你留下一些方法在他心裡面的話，我覺得這還是有意義的。」，其工作單設計如下表XX。表XX：〈你可以再靠近一點！0.9循環與1〉(初版)
內容《活動1：比大小》
1.你認為 （0.9999999………）和1相等嗎？2.如果你覺得 和1不相等，那麼你認為它們相減會得到多少呢？
《活動2：數線上的密室》
3.在數線上，每兩個點（兩個數）之間，還會有點（數）嗎？為什麼你這麼說呢？4.想想看， （0.9999999………）和1之間有點（數）嗎？若有的話，是什麼數呢？
《活動3：友誼的橋樑》
5.令 x＝0.9999999……＝10x＝
兩個式子相減，可得，9x＝
x＝所以可得到：
編者註解：1.學習活動一是讓學生提出直觀的「 」，並藉由兩數差值的提問，意圖讓學生對於直觀想法，產生懷疑並進而思考。
2.學習活動二則是延續學習活動一，藉由兩數之間是否有其他數的提問，也意圖讓學生對於直觀想法，產生懷疑並進而思考。3.學習活動三則是以國中小生，可以理解的代數方法，計算此無窮循環小數的等值分數，意圖讓學生相信「 」。
5.選擇「克制直觀」策略廖老師在工作坊的報告，初版工作單設計想法中，提出此份工作單試驗後的結果。廖老師指出，即使她與試驗學生就工作單問題相互討論，學生仍認為0.9循環和1不相等，她說：「學生的評論：(1)不管0.999......後面的…有幾個9，零點多一定比1小；(2)代數方法感覺像在變魔術，像騙人的。」因此，報告過程中特別拋出教學問題：「如何突破學生認為0.9循環不是1的感覺？」獲得相當多回響，特別是工作坊的授課教授，從無限的過程與結果面向，亦從思維的直觀與解析的面向，分析學生對「0.9循環」的認知，並提出可改變直觀的兩種方式：(1)認知衝突；(2)和專家直觀，以及可行的改變策略，而廖老師將這些評論意見整理如下：
(1)數學符號可表徵「過程」或「結果」。看到 ，人的反應是一個持續動態的「加」的「過程」0.9＋0.09＋0.009＋……，而1是靜態的「結果」。(2) 是否也是演算的結果？是，但不是直接演算。 ，換句話說， 與 直接心算，可帶上等號。 是 ，則差一步，不易直接察覺。
(3)認知上， 小於1是「直觀」（intuition）。理論上，直觀具有立即性、確定性、持久性，因此， 小於1是「不易改變」的直觀。(4)改變不當「直觀」，有兩種可能：
A.立即性的，製造認知衝突，讓「直觀者」感受自己的想法有「不當」，下一步，才設法讓他接受類似 的推理。B.培養具有二階直觀的專家，例如你、我。
(5)認知衝突的設計可有許多策略。可「反問」學生，如果「 ，那小多少？」不算是錯的思維，因認為 的人，也許追問之下，已可明確說出：「不管多小的正數ε， 與1的差都可以比ε還小」因此，相信「 」的直觀者中，一部分已具上述數學，以「1做為極限」的思維，那麼要培養的只是極限的定義、數學的定義。說明上述思維的內容，在數學上以「極限」稱呼。不過，對尚無法發展出上述思維者，就應著力在「克制」的策略上。努力學習把 看成 的過程步驟，克制自己的直觀。」。
6.回饋後重新再調整廖老師的初版工作單，經過試驗及報告，並獲得工作坊成員回饋後，重新調整活動內容，將原本兩數比較大小(差值)，和實數稠密性的活動結合，更增加火車接軌，以及數線上兩點距離等活動，企圖以這些經驗銜接，實數稠密性與等值的意義；此外，以分母為9的真分數，及其等值的無窮循環小數，建立一系列結果與過程相等的例子(如 )，希望學生能歸納出兩數等值( )；同時，保留了代數計算兩數等值的活動；最後，增加反省與評論的活動，於是形成〈你可以再靠近一點！0.9循環與1〉二版工作單的內容(如下表)。
表XX：〈你可以再靠近一點！0.9循環與1〉(二版)
內容1. 你認為1是一個數嗎？
2. 你認為 是一個數嗎？3. 小朋友常玩一個接火車軌道的遊戲，讓我們也來試試看。
4. 下面是一條數線，請你將 和1，標示在數線上。
5. 你所標示的這兩個點，它們的距離是多少呢？
6. 以下是幾個關於數線的是非題。（）0和1之間有數。
（）0.5和0.6之間有數。（）0和 之間有數。
（） 和 之間有數。（）3和 之間有數。
7. 以上的是非題，讓你對於你剛剛在數線上所畫的 和1有什麼新的想法呢？8. 現在，我們從另外一個不同的方向來看 與1這兩個數。
你同意這個式子嗎？
請你完成以下的推論。
經由哪一個式子，可以發現 與1的大小關係呢？它們的大小關係是……？
9. 未知數x也想加入這場遊戲，如果令 x＝0.9999999……＝
那麼 10x＝＝兩個式子相減，你可以得到？
10. 經由以上的三個活動，你認為 與1之間的關係是什麼呢？11. 你會怎麼形容 ？
12. 這三個活動你最喜歡哪一個？為什麼？
編者註解：
1.此份設計主要有四個部分：(1)問題1-7是不等兩數間，必有其他數(實數稠密性)的活動；(2)問題8是過程與結果等值活動；(3)問題9是以代數計算兩數等值的活動；(4)問題10-12則是反思與評價的活動。2.第一部份可看到問題1-2用來確認是否為數；問題3則提供接鐵軌遊戲的連接經驗，意圖類比到數線稠密性的問題4 -5上；問題6-7則檢驗等值兩數之間不會再有數字，以用來製造衝突。
3.第二部份是利用除法運算(過程)建立分數(結果)，與無窮循環小數(過程結果)的等值關係，如 ，意圖讓學生推論出 。4.第三部份和初版設計相同，利用國中小生可理解的代數方法，計算此無窮循環小數的等值分數，意圖讓讓學生相信「 」。
5.第四部份則是讓學生，重新反思自己對兩數的認知，意圖讓學生產生抑制直觀的經驗。
7.教學實驗後的微調廖老師在一個七年級的學生班，使用〈你可以再靠近一點！0.9循環與1〉二版工作單進行教學實驗，可看到學生對於兩數的觀點，隨著活動的進行而有所改變，詳細結果整理在下個章節，以下是實驗後，廖老師自己提出(1)-(3)點修正想法，和其他教師提出(4)-(6)點的修改想法：
(1).第6題與第7題之間可再增加一些題目來增強連結。(2).第8題的引導似乎有不足，因此許多學生直接從 跳到1，而無法觀察到 在過程中的角色。
(3).第9題，在式子中，兩式皆出現了兩個等號，干擾學生在兩式相減時的作答，應加以修正。(4).第6題的第三小題：3和 之間有數。這個題目讓我容易聯想到 與1是同一個數的2種不同表徵方式。
(5).我喜歡活動2的設計，藉由循環小數的推導，看到 ＝1。 ，是1，非1，終究還是1啊！。(6).其他老師K：活動2的 很容易直接得出1這個答案， 就出不來了，建議稍做調整。
廖老師根據這些意見，微調二版工作單，而得三版的〈你可以再靠近一點： 與1〉臆測活動工作單，如下：表XX：〈你可以再靠近一點：0.9循環與1〉(臆測活動工作單三版)
內容《活動之前：Discovery探索頻道之心聲突擊隊》
1.是非題，圈出你心中的感覺，憑直覺作答並且先不要修改。（）我認為 等於1。
（） 不等於1， 趨近於1。（）如果 ＝1寫在數學課本上，那我會相信它是對的。
（）我堅信 不等於1，而且不相信任何 ＝1的解釋。（）在人的主觀意識裡 不會等於1，在人的主觀意識之外 沒有意義。
（）1若表徵為終點， 就是永遠持續的追求。（） 原本不等於1，但他和1的差距小到可以忽略，所以 會等於1。
（）差距不論多小都不應該忽略，所以 不等於1。（）我應該能找到1和 相減的差。
（）我應該找不到1和 相減的差，但是我相信這個差距存在，只是我找不到好的表示方式。（） 不等於1，因為相減還不等於0，是等於 。
（）我認為在有限的思維裡討論「 是否等於1」的問題是沒有意義的。（）我認為要討論「 是否等於1」的問題時，直覺並不可靠。所以我拒絕用直覺作答。
《活動1：數線上的密室》
2.你認為1是一個數嗎？3.你認為 是一個數嗎？
4.小朋友常玩一個接火車軌道的遊戲，讓我們也來試試看。
5.火車軌道和數線，你覺得這兩者有什麼相似之處呢？6.如果軌道有斷裂（如上圖右）的地方，那麼火車就無法通過了。請問，你認為數線上有斷裂的地方嗎？為什麼？
7.下面是一條數線，請你將 和1，標示在數線上。
8.你所標示的這兩個點，它們之間有數嗎？9.以下是幾個關於數線的是非題。
題目○×如果你認為有，請舉一個例子。0和1之間有數。
0.5和0.6之間有數。0和 之間有數。
和 之間有數。
3和 之間有數。
和1之間有數。
10.以上的是非題，讓你對於你剛剛在數線上所畫的 和1有什麼新的想法呢？
《活動2：亦步亦趨》
11.現在，我們從另外一個不同的方向來看 與1這兩個數。
(1)你同意這個式子嗎？(2)請你繼續以下的推論。
＝＝
＝＝
＝＝
＝＝
(3)哪一個式子，可以使你發現 與1的大小關係呢？請你在式子前面打勾。(4)經由你所打勾的式子，你發現 與1的大小關係是……？
《活動3：友誼的橋樑》
12.未知數x也想加入這場轟動數學世界的遊戲，如果令 x＝0.9999999……
那麼 10x＝兩個式子相減，你可以得到？
13.經由以上的三個活動，你認為 與1之間的關係是什麼呢？
14.你會怎麼形容 ？15.這三個活動你最喜歡哪一個？為什麼？
編者註解：
1.此版設計主要有五個部分：(1)先備經驗的調查，問題1；(2)數線上的密室，問題2-10；(3)亦步亦趨，問題11；(4)友誼的橋樑，問題12；(5)反思與評價，問題13-15。2.此版設計延續二版的設計想法，部份新增與微調，包含：(1)新增教學實驗經驗設計問題1，調查學生在活動前，對兩數相關問題的認知表現；(2)新增問題6，橋接鐵軌與數線經驗；(3)調整問題10，請學生舉例，用來提示學生區別表徵不同與數值不同；(4)調整問題11，隱藏除法運算，引導學生從規律中歸納出 ；(5)調整問題12，減少學生錯誤解「x=9」的產生。
8.留下的是數學的結構
廖老師參與這次工作坊的過程，對於工作坊林教授對學習的觀點印象深刻，久久不能消退，她說：「有句話始終盤旋迴盪在研究者的心中，那是林福來教授在工作坊第二次上課時所說的一句話：『在數學學習之後，經過一個星期、一個月、三個月……學生還記得什麼？是情境性的？還是記得最後的結論？還是......？？我們期望學生留下的，是數學的結構。』」。當她在設計這份學習單時，設定的主要目的並非學生記住「 」這個結果，而是透過臆測活動引導，讓學生更清楚瞭解 ，並對數學有更濃厚的興趣，她說：「這份工作單的重點不在於，使學生記得 ＝1此結論（若他能記得固然很好，但這卻非此份工作單的最主要目的），而是希望學生能藉著，這份以臆測為策略的工作單引導，對於 的性質，有更多的認識，同時亦能引發對於數學世界的興趣（請姑且允許我們認為「懸疑」、「靈異」、「恐怖」、「驚豔」，都算是種感興趣的形容詞）」。
9.設計不能囿於成見廖老師從實驗結果發現，透過問題的提問可引導學生思考，並促成學生調整自己的概念，她說：「經由觀察學生作答，可發現學生能藉著一些提問，引發主動思考，而在經由一連串的主動思考後，個別學生亦能不同程度地調整自己的直觀感覺。」活動過程中，學生逐漸接受兩數相等的觀點，有些學生克制了直觀後認為「 」，但有些學生在既有直觀下接受相等並認為「 」這奇怪的結果，廖老師以工作坊林教授提到，禮記學記篇的「強而弗抑」加以詮釋，她說：「令人哭笑不得的是，有部分學生最後竟得出「 」的結論然而開心的是，學生至少將「＝」也納入可能裡。
但令人無言的是，這是個怎麼看、怎麼怪的式子阿！這時，也只能用老師說的「強而弗抑」來自我安慰了。」不過，更令廖老師驚訝的是，原本她認為學生應最不能接受，代數計算無窮循環小數的等值分數活動，實驗結果卻顯示，經過此活動後，更多的學生開始相信「 」。此外，這活動對學生的衝擊亦不小，還有不少學生認為這是最喜歡的活動，如學生寫下「因為它證明了 」、「太可怕了！」、「最恐怖」、「很靈異」、「算出來的數字令人驚豔」等，這些結果促使廖老師，反思自己設計活動的想法，她說：「令人驚訝的是，研究者認為最難令學生接受的第三個活動，竟有學生是因它才相信 ＝1，亦有為數不少的學生表示，最喜歡第三個活動。這也提醒研究者，未來在設計教學活動時，應盡量減少因個人的喜好與成見，而對於教學方法有所偏廢的情況。」
二、學生的表現1.「 」不是數！
從二版問題1與2的結果來看，雖29位學生一致認為1是數，但其中8位學生不認為 是數，但並沒有寫下說明，只有編號S11的學生寫下：「嗯！」但有趣的是，若 不是數，應不會出現在數線上，亦無法和1比大小，更無法論述和1相等，但試驗的結果有學生認為 不是數，卻在數線上標示比1小。
2. 小於1，但非常接近1！從問題4的數線標示結果來看，有6位學生標出 與1位置相同，但其中5位(S02, S08, S09, S11, S19)將標示塗大，只有1位(S24)直接標示；有17位學生將 標示不同於1的位置上；其餘6位學生則未標出 的位置，其中5位(S01, S06, S12, S18, S27)僅標出0.9的位置，另1位(S22)則是寫下「很接近很接近1」。顯然，除了無標示的學生和S24外，其他學生均認為接近的兩數是不同的。
從問題5的兩位置距離結果來看，學生表示距離的形式雖不同，但大多數學生(19位)認為兩者之間有距離，即兩數不同，如距離為「 」有6位(S01, S06, S13, S23, S28, S29)；「 」有2位(S05, S14)；「 」有3位(S10, S17, S19)；「≒0」、「一個小單位」和「0.1」則各有1位(S11, S12, S18)；「 」有5位(S02, S15, S16, S21, S25)。有少數學生(4位)認為兩者之間的距離為零，寫下距離為「0」的有4位(S07、S08、S20、S24)，不過學生表示距離為零時，並不意謂著兩數相等，就如S26表示距離「可以是0.0……1，也可以是沒有吧！」。最後有5位學生未寫下兩位置的距離，其中1位表示「不知」。綜觀以上兩個問題的結果，僅有1位學生明確表示「 」的觀點，其餘大部分學生認為，「 小於1，但非常接近1」的看法，但距離問題似乎對他們的認知產生干擾的作用。
3. 等於1嗎？從問題6的是非題來看，學生知道兩個不等值的數之間還有其他數，但有半數以上學生(18位)，將表徵方式不同的3和 看成不同(值)，顯見廖老師的問題設計，亦引出學生另一種直觀。從問題7的結果來看，學生觀點開始產生變化，前面問題是以 觀點，回答的學生開始產生疑惑，例如「S02： 好像是1，又好像不是。」、「S09：數學是矛盾的。」、「S10：有點矛盾， 可以等於1，也可以不等於1。」、「S13：嗯…那個， ！！（不肯定中）」、「S20：有點奇怪，好像一樣，又好像不一樣。」甚至原認為兩數不同，且有距離的學生，開始認為兩數相同，如S11、S19和S21三位均表示「 」此外，原將兩數標示相同位置，並認為距離為零的學生S24，卻表示「 與1的距離幾乎為0」。可見學生對兩數認知的改變十分多樣。
4. ！
從問題8的結果來看，已有6位學生經由這一系列真分數，以及其等值的無窮循環小數，如 ，可歸納出 。當再次提問比較 與1兩數大小時，有9位學生表示「 」，多於問題7的3位，但仍有12位學生認為「 」。從問題9代數方法，計算無窮循環小數的結果來看，17位學生可解出「x=1」，6位學生錯誤解出「x=9」，其餘則未解出。此活動最特別之處為，某些學生解出「x=1」時，對其原本的認知造成衝擊，例如，學生S13在問題1-8都顯示出「 」的觀點，但當他利用代數計算方式解出「x=1」時，寫下這個結果對他的衝擊：「太可怕了！」。經過前面三個主要活動：火車軌道(兩個不同實數之間的數與距離)、分數歸納(分數及其等值無窮循環小數)、代數演繹(代數計算無窮循環小數的等值分數)等，再由問題10重新讓學生描述兩數 與1的關係，有5位認為小於或等於：「 」，有12位認為相等：「 」，合計有17位學生，已將兩數相等列入關係中，可見經過這些活動後，尤其是經過代數計算活動，認為兩數會相等的學生更多！
5.有趣！好玩！令人驚豔！從問題11的結果來看，11位學生最喜歡火車軌道活動，他們大都認為「有趣」或「好玩」，較特別的是，有學生認為「可動動腦」、「因為很酷」；有3位學生最喜歡分數歸納活動，他們認為「好玩」、「很懸疑」；有7位學生最喜歡代數演繹活動，有些學生認為「因為它證明了 」，有些學生則認為「最恐怖」、「很靈異」、「算出來的數字令人驚豔」；有3位學生認為三個活動都喜歡，除了「好玩」的理由，有位學生表示「數學真奧妙」。
三、編者的話符號「 」，從數學本質上來看，它同時表徵潛在無窮累加過程「 」與潛在無窮累加的收斂結果1，此符號會被看成是表徵累加的過程，無論累加至第幾項，其結果都小過1，因此很容易推得 的觀點；從認知來看，人對潛在無窮過程的認知，常以直觀處理，且常是錯的，如有名的芝諾悖論，這樣的直觀具有立即性、確定性與持久性，不容易改變，例如廖老師訪談幾位成人的表現，即使曾學習過論證方式，卻仍以直觀回答，要改變不當的直觀，則可從解析下手，例如廖老師提問學生兩數相差多少？或兩數之間是否有數？引導學生從解析的觀點思考，產生與直觀不同的結果，造成認知衝突，引動學生思考，才有機會進行直觀的克制或調整。在此工作單設計內，便提供了幾個可能的策略，如引導學生以解析進行思考的提問，「兩數之差是多少？」、「兩數位置是否相同？」、「兩數之間是否還有其他數？」等；另外，引導學生從幾個無窮循環小數，以及其等值分數的案例，歸納形成兩數相等的臆測，以及利用國中學生可理解的，代數計算等值無窮循環小數的方式，論述兩數等值等，不同策略的結合與使用，皆值得再深入探索。
工作單設計與實驗：廖惠儀(高雄市大仁國中)林壽福(臺北市蘭雅國中)
吳如皓(臺北市蘭雅國中)文章編撰：陳建誠(明志科技大學)
【資料來源 / 版權 與 商品購買網址】
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主動思考：貼近數學的心跳
作者：林福來 主編 陳建誠、許慧玉、楊凱琳 編著出版社：開學文化事業股份有限公司出版日期：20151113語言：中文繁體 ISBN：9789869177979裝訂：平裝。
主動思考：貼近數學的心跳
內容簡介：《主動思考：貼近數學的心跳聲》呈現多位在職中學數學老師的設計案例，他們都以促進學生主動思考為目標，意圖將原本以教師為中心的傳統教學轉變成學生為中心的教學，主動參與教學活動序列設計、實驗、反思與修正。透過師培者、同儕和學生的相互激盪，形塑出可行的教學活動序列，並促成自己的專業成長之歷程。
藉由這些設計案例，本書說明：
(1)教師如何利用隨手可得材料為起點進行設計，例如，學生經驗中的迷思或困惑，教學資源中的試題或遊戲，數學知識中的公式或性質……等材料；
(2)教師如何將這些材料轉變成學生為主的活動內容，例如，激發學生主動參與的趣味活動，鼓勵學生主動建構與檢驗的操作活動，引發學生主動建構、觀察、轉換和反思的探索或臆測活動……等；
(3)教師如何從師培者、同儕與學生處獲得回饋，並促成改變與成長。這些現場教師的設計經驗，可以提供給所有數學教師參考，特別是以學生為中心的教學設計者，可從模仿或修改這些案例著手，正所謂「他山之石可以攻錯」。
作者簡介：林福來 主編美國復旦大學博士英國劍橋大學數學教育碩士國立師範大學數學系講座教授作者群陳建誠(明志科大助理教授)、許慧玉(新竹教大助理教授)、楊凱琳(臺師大副教授)試閱內容 :工作單設計案例
從迷思出發
在數學教學中，常見學生有各種迷思，如「和用加法、差用減法」的關鍵字迷思、「乘會變大、除會變小」的運算迷思、「以加法解比例問題」的策略迷思、「零點九九循環小於1」的動態無限迷思、「3的倍數加6的倍數為9的倍數」的推理迷思，以及「和的平方等於平方的和」的交換迷思等等，皆是學生在學習過程中，可能產生疑惑或困難，然而，這些迷思可用來設計成，促進學生思考的工作單嗎？若可以，該如何進行？學生學習表現會有何不同？教師本身有何改變？這節將以廖惠儀老師所設計的〈你可以再靠近一點！0.9循環與1〉為案例進行說明。
一、見證成長的美麗足跡1.「 等於1嗎？」
在廖老師的教學經驗中，七、八年級學生在學習「數與運算」或「無理數」單元時，會提出「 等於1嗎？」的問題，無論學生向老師提問的原始想法為何，但正因是學生主動提出的疑惑，故可作為主動思考的第一步，她說：「學生主動提出一個數學的問題，真正令感到他們感到「好奇、有趣」，這不正是學生主動思考絕佳的第一步嗎？」學生對此問題感到好奇、有趣，同時，數學教師亦對於如何處理此問題，感到困難，她說：「曾有教師在休息時間向教授提問，「當學生問到會不會等於1的問題時，該如何解釋？」此時，許多原本正在休息的數學教師們，紛紛望向提問者與教授。可見，這不只是個令學生感興趣的問題，亦是個令教師感到不易回答的問題。」針對這同時吸引學生與教師的問題，要如何設計出可提供教師參考的教案，並促成教師自身的成長，成了廖老師的目標，她說：「基於上述兩個理由，研究者在此次工作坊中，不自量力地以「 與1」為研究題目。期盼在教授與伙伴們的協助與砥礪中，能提出一個可供教師參考的教案，更是見證自己成長的一道美麗的足跡」。
2.「 不等於1！」廖老師為瞭解曾在高中學過用無窮等比級數推論「 =1」的人，是否仍保有此印象，於是找了三位高中已畢業多年的人進行訪談，而他們皆認為 不等於1。其中一位是大學已畢業多年，且修習社會科系(國中社會科輔導團老師)的A先生，他認為 不等於1，因 表徵著永遠的可能和努力空間，不論數學家如何想，他有自身情感上的思考。以下是廖老師(T)訪談A先生的摘錄內容：
T：帥哥，你覺得0.9 ?會等於1嗎？A：不會耶，我會說趨近於1。
T：所以你覺得不會「等於」？A：不會啊，這種感覺就如我常說的名言，完美並不美。
T：太深奧了，願聞其詳。A：沒有所謂的完美，若完美就失去了再努力與改變的可能。1若表徵為完美，0.9的循環就是永遠的可能與努力的空間。
T：那如果我宣告0.9 ?會等於1，你會覺得是錯的囉？A：數學有你的專業考量，人文則有我情感上的思考。
T：你的意思是說，儘管你可能認同我的推論，但情感上，你會覺得兩個不相等？A：畢竟數學不是我的專業，妳是數學知識，我是數學意識，知識是絕對客觀，意識是人的揣摩。
另一位則是在學的大學生，修習理工科系的B先生，他雖記得高中數學曾經證明過 等於1，但他還是直覺地認為 不等於1，可說 近似於1，但從工程觀點來看，若在誤差的容許範圍內，可將 看成相等於1。以下是廖老師(T)訪談B先生的摘錄內容：
T：帥哥，你覺得 會等於1嗎？B：不會。
T：是喔，為什麼？B：直覺，以前好像算過。但若仔細一想，應會等於1。
T：為何你又覺得它們會等於呢？B：一直0.9999999999999999999999....... 好像可以證明耶，可是忘記怎麼證明了，高中數學。
T：你是有「印象」覺得應會相等？B： 一開始不等於1，是因覺得就算還有一點點的差，它還是有差。
T：那後來為什麼你又覺得會相等了？B：因為覺得那一點點的差，對於工程上面似乎可忽略，故覺得可近似於1。
T：可是近似於跟相等好像還是不一樣耶……B：但覺得可直接當作1來看，雖近似於跟相等不同。工程人久了，有些觀念會制式化，太正規，應該說太隨便，只要能用就好。安全係數不要太小就好，不會造成危險，管他那麼多。
第三位則是在學的研究生，修習理工科系的C先生，他認為 不等於1，但在不同的「精確度」要求下， 可以等於1，例如精確位數為個位，小數以下第一位四捨五入後就都是1。即使廖老師追問兩者若不同，那兩數的差值應該是多少時，他以物理所定義的最小單位原子來說明，差值為最小正數，並以「 」來表示。以下是廖老師(T)訪談C先生的摘錄內容：
T：帥哥，你覺得 會等於1嗎？C：看精確度啊，若精確度只有小數點0位數，管他點多少都是1。
T：那不理會精確度，純粹就思維來說的話？C：不是理工的應該都會說不相等吧
T：怎麼說？C：寫程式0和1沒弄清楚會出人命的，特別是醫院診療和醫療影像軟體。
T：可是是 ，可不是 0 喔...C：我知道啊，所以說要看精確度。若只是一公尺的距離，角度差個0.00001度不會有差別。但萬一是太空探險，距離有一光年那怎麼辦呢。
T：那如果精確度是無限大，你覺得會一樣嗎？C：還是不一樣啊！
T：怎麼說？C：之前寫程式遇到一個很有趣的問題， ，因記憶體大小有限，所以並不是循環小數。大概是0.333333333× 3換變成0.99999999這樣。話說在數學裡面為什麼會相等？
T：因為若不相等的話，那他們相減應會得到一個數，對嗎？C：嗯嗯。
T：可是他們相減能得到什麼呢？C：這太好玩了！請問強子對撞機讓兩個原子相撞，有撞出什麼更小的粒子嗎？再問若真的找到基本粒子，這樣上帝是真的存在嗎？全是觀點問題啦！
T：經過剛剛的討論，你會相信 ＝1嗎？C：不會。因為相減還不等於 0，是等於 。
3.「 =1，但…」
廖老師亦訪談了一些國中數學教師，對此問題的處理方式，他們大多以代數方式處理：「令 ，則 ，兩式相減可得 ，因此 ，即 」。如訪談的某位國中數學教師說：「用代數方法證明吧！至於在無限的範疇中可以這樣用嗎？我現在只能用國中生的想法思考。」另一位被訪談的國中數學教師表示，代數方法雖被認為不恰當，但他也只記得此方法，他說：「印象中有聽過教授說，這樣做（代數方法）好像是不對的，可是我只記得這個方法。對於無限循環小數可化為分數，我通常都帶過去。」。在高中數學課程中，是將循環小數看成是收斂的無窮等比級數，因此「 =1」的論述便以此為基礎，也就是「 」表示無窮等比級數「 」，因此，預先假設極限必收斂後，才進行運算的代數處理方式，被看成是錯的，例如廖老師班上某位學生家長，恰為高中數學教師，這位數學老師(家長)認為上面描述的代數方式，是一種「誤解」，而正確的解法應該如下：
廖老師還引用數學教授單維彰(2008)，發表在科學月刊的「無窮循環小數」一文，調合國中數學教師與高中數學教師，對此問題的教學觀點。單教授認為對於沒有無窮等比級數基礎的學生，教導使用代數方法，計算無窮循環小數的等值分數，不能說是誤導或錯的，雖此方法只簡略說明，並無告知學生全部事實，未來學習只需增加概念而毋須修改，他說：「許多教師知道如何用代數方法，計算無窮循環小數的等值分數。以 為例，令x＝ ，則10x＝3＋x，所以9x=3，所以x＝ ，也就是 ＝ 。有些教師則擔心，這種教法會誤導學生而不敢使用。其實毋須多慮，此教法並無說謊亦非誤導，只是略過一個技術性細節而已：先證明循環小數必然收斂，前述作法是正確的。而我們知道循環小數沒有不收斂的，故暫時不告訴學生全部事實，並無誤導：學生將來只須增加觀念，不須修改觀念。」，單教授並以孩子常問媽媽「我是從哪裡來的？」的問題為譬喻，說明誤導和簡略說明的差異，他說：「媽媽若回答『一隻鳥把妳叼到家門口，我把妳撿進來的』就是誤導（對大部分的家庭而言）；但媽媽若回答『天使把妳放進我的肚子裡，我辛苦把妳懷到夠大後才生出來』並不算說謊，只是隱瞞了一點技術性的細節而已」。
4.你可以再靠近一點！
廖老師經由質性訪談，與文獻資料整理後，針對國中生設計三個子活動，活動一是提問兩數差值，意圖製造認知衝突，並促進思考，她說：「我保留問話的方式，『若不相等的話，他們相減會是多少？』通常此時，他們(學生)會產生認知衝突，並開始思考問題的答案為何？」活動二則是利用時數的稠密性，意圖再製造認知衝突並促成思考，她說：「若你覺得這兩個數不相等的話，那0.9循環會在這裡，那1會在這邊，可是什麼數介於0.9循環到1的中間呢？之後讓他思考這個問題。」活動三則是引導學生利用代數計算，得出兩數相等的結果，雖然廖老師安排此活動，但她不認為此活動對學生學習會有幫助，她說：「這個代數式是個無用的式子，因你跟他講後，他會出現『你在變魔術』的感覺，他會認為你只是用個式子在騙他，因而我覺得此式子對於他的學習，就是0.9循環會等於1，這個感覺完全無任何幫助。」這份工作單設計最主要用意，並非要學生接受或記住「 =1」，而是讓學生能留下思考方法，她說：「我覺得此題目值得做，是因就算最後你不能夠讓他相信說這兩個數會相等，但當你留下一些方法在他心裡面的話，我覺得這還是有意義的。」，其工作單設計如下表XX。表XX：〈你可以再靠近一點！0.9循環與1〉(初版)
內容《活動1：比大小》
1.你認為 （0.9999999………）和1相等嗎？2.如果你覺得 和1不相等，那麼你認為它們相減會得到多少呢？
《活動2：數線上的密室》
3.在數線上，每兩個點（兩個數）之間，還會有點（數）嗎？為什麼你這麼說呢？4.想想看， （0.9999999………）和1之間有點（數）嗎？若有的話，是什麼數呢？
《活動3：友誼的橋樑》
5.令 x＝0.9999999……＝10x＝
兩個式子相減，可得，9x＝
x＝所以可得到：
編者註解：1.學習活動一是讓學生提出直觀的「 」，並藉由兩數差值的提問，意圖讓學生對於直觀想法，產生懷疑並進而思考。
2.學習活動二則是延續學習活動一，藉由兩數之間是否有其他數的提問，也意圖讓學生對於直觀想法，產生懷疑並進而思考。3.學習活動三則是以國中小生，可以理解的代數方法，計算此無窮循環小數的等值分數，意圖讓學生相信「 」。
5.選擇「克制直觀」策略廖老師在工作坊的報告，初版工作單設計想法中，提出此份工作單試驗後的結果。廖老師指出，即使她與試驗學生就工作單問題相互討論，學生仍認為0.9循環和1不相等，她說：「學生的評論：(1)不管0.999......後面的…有幾個9，零點多一定比1小；(2)代數方法感覺像在變魔術，像騙人的。」因此，報告過程中特別拋出教學問題：「如何突破學生認為0.9循環不是1的感覺？」獲得相當多回響，特別是工作坊的授課教授，從無限的過程與結果面向，亦從思維的直觀與解析的面向，分析學生對「0.9循環」的認知，並提出可改變直觀的兩種方式：(1)認知衝突；(2)和專家直觀，以及可行的改變策略，而廖老師將這些評論意見整理如下：
(1)數學符號可表徵「過程」或「結果」。看到 ，人的反應是一個持續動態的「加」的「過程」0.9＋0.09＋0.009＋……，而1是靜態的「結果」。(2) 是否也是演算的結果？是，但不是直接演算。 ，換句話說， 與 直接心算，可帶上等號。 是 ，則差一步，不易直接察覺。
(3)認知上， 小於1是「直觀」（intuition）。理論上，直觀具有立即性、確定性、持久性，因此， 小於1是「不易改變」的直觀。(4)改變不當「直觀」，有兩種可能：
A.立即性的，製造認知衝突，讓「直觀者」感受自己的想法有「不當」，下一步，才設法讓他接受類似 的推理。B.培養具有二階直觀的專家，例如你、我。
(5)認知衝突的設計可有許多策略。可「反問」學生，如果「 ，那小多少？」不算是錯的思維，因認為 的人，也許追問之下，已可明確說出：「不管多小的正數ε， 與1的差都可以比ε還小」因此，相信「 」的直觀者中，一部分已具上述數學，以「1做為極限」的思維，那麼要培養的只是極限的定義、數學的定義。說明上述思維的內容，在數學上以「極限」稱呼。不過，對尚無法發展出上述思維者，就應著力在「克制」的策略上。努力學習把 看成 的過程步驟，克制自己的直觀。」。
6.回饋後重新再調整廖老師的初版工作單，經過試驗及報告，並獲得工作坊成員回饋後，重新調整活動內容，將原本兩數比較大小(差值)，和實數稠密性的活動結合，更增加火車接軌，以及數線上兩點距離等活動，企圖以這些經驗銜接，實數稠密性與等值的意義；此外，以分母為9的真分數，及其等值的無窮循環小數，建立一系列結果與過程相等的例子(如 )，希望學生能歸納出兩數等值( )；同時，保留了代數計算兩數等值的活動；最後，增加反省與評論的活動，於是形成〈你可以再靠近一點！0.9循環與1〉二版工作單的內容(如下表)。
表XX：〈你可以再靠近一點！0.9循環與1〉(二版)
內容1. 你認為1是一個數嗎？
2. 你認為 是一個數嗎？3. 小朋友常玩一個接火車軌道的遊戲，讓我們也來試試看。
4. 下面是一條數線，請你將 和1，標示在數線上。
5. 你所標示的這兩個點，它們的距離是多少呢？
6. 以下是幾個關於數線的是非題。（）0和1之間有數。
（）0.5和0.6之間有數。（）0和 之間有數。
（） 和 之間有數。（）3和 之間有數。
7. 以上的是非題，讓你對於你剛剛在數線上所畫的 和1有什麼新的想法呢？8. 現在，我們從另外一個不同的方向來看 與1這兩個數。
你同意這個式子嗎？
請你完成以下的推論。
經由哪一個式子，可以發現 與1的大小關係呢？它們的大小關係是……？
9. 未知數x也想加入這場遊戲，如果令 x＝0.9999999……＝
那麼 10x＝＝兩個式子相減，你可以得到？
10. 經由以上的三個活動，你認為 與1之間的關係是什麼呢？11. 你會怎麼形容 ？
12. 這三個活動你最喜歡哪一個？為什麼？
編者註解：
1.此份設計主要有四個部分：(1)問題1-7是不等兩數間，必有其他數(實數稠密性)的活動；(2)問題8是過程與結果等值活動；(3)問題9是以代數計算兩數等值的活動；(4)問題10-12則是反思與評價的活動。2.第一部份可看到問題1-2用來確認是否為數；問題3則提供接鐵軌遊戲的連接經驗，意圖類比到數線稠密性的問題4 -5上；問題6-7則檢驗等值兩數之間不會再有數字，以用來製造衝突。
3.第二部份是利用除法運算(過程)建立分數(結果)，與無窮循環小數(過程結果)的等值關係，如 ，意圖讓學生推論出 。4.第三部份和初版設計相同，利用國中小生可理解的代數方法，計算此無窮循環小數的等值分數，意圖讓讓學生相信「 」。
5.第四部份則是讓學生，重新反思自己對兩數的認知，意圖讓學生產生抑制直觀的經驗。
7.教學實驗後的微調廖老師在一個七年級的學生班，使用〈你可以再靠近一點！0.9循環與1〉二版工作單進行教學實驗，可看到學生對於兩數的觀點，隨著活動的進行而有所改變，詳細結果整理在下個章節，以下是實驗後，廖老師自己提出(1)-(3)點修正想法，和其他教師提出(4)-(6)點的修改想法：
(1).第6題與第7題之間可再增加一些題目來增強連結。(2).第8題的引導似乎有不足，因此許多學生直接從 跳到1，而無法觀察到 在過程中的角色。
(3).第9題，在式子中，兩式皆出現了兩個等號，干擾學生在兩式相減時的作答，應加以修正。(4).第6題的第三小題：3和 之間有數。這個題目讓我容易聯想到 與1是同一個數的2種不同表徵方式。
(5).我喜歡活動2的設計，藉由循環小數的推導，看到 ＝1。 ，是1，非1，終究還是1啊！。(6).其他老師K：活動2的 很容易直接得出1這個答案， 就出不來了，建議稍做調整。
廖老師根據這些意見，微調二版工作單，而得三版的〈你可以再靠近一點： 與1〉臆測活動工作單，如下：表XX：〈你可以再靠近一點：0.9循環與1〉(臆測活動工作單三版)
內容《活動之前：Discovery探索頻道之心聲突擊隊》
1.是非題，圈出你心中的感覺，憑直覺作答並且先不要修改。（）我認為 等於1。
（） 不等於1， 趨近於1。（）如果 ＝1寫在數學課本上，那我會相信它是對的。
（）我堅信 不等於1，而且不相信任何 ＝1的解釋。（）在人的主觀意識裡 不會等於1，在人的主觀意識之外 沒有意義。
（）1若表徵為終點， 就是永遠持續的追求。（） 原本不等於1，但他和1的差距小到可以忽略，所以 會等於1。
（）差距不論多小都不應該忽略，所以 不等於1。（）我應該能找到1和 相減的差。
（）我應該找不到1和 相減的差，但是我相信這個差距存在，只是我找不到好的表示方式。（） 不等於1，因為相減還不等於0，是等於 。
（）我認為在有限的思維裡討論「 是否等於1」的問題是沒有意義的。（）我認為要討論「 是否等於1」的問題時，直覺並不可靠。所以我拒絕用直覺作答。
《活動1：數線上的密室》
2.你認為1是一個數嗎？3.你認為 是一個數嗎？
4.小朋友常玩一個接火車軌道的遊戲，讓我們也來試試看。
5.火車軌道和數線，你覺得這兩者有什麼相似之處呢？6.如果軌道有斷裂（如上圖右）的地方，那麼火車就無法通過了。請問，你認為數線上有斷裂的地方嗎？為什麼？
7.下面是一條數線，請你將 和1，標示在數線上。
8.你所標示的這兩個點，它們之間有數嗎？9.以下是幾個關於數線的是非題。
題目○×如果你認為有，請舉一個例子。0和1之間有數。
0.5和0.6之間有數。0和 之間有數。
和 之間有數。
3和 之間有數。
和1之間有數。
10.以上的是非題，讓你對於你剛剛在數線上所畫的 和1有什麼新的想法呢？
《活動2：亦步亦趨》
11.現在，我們從另外一個不同的方向來看 與1這兩個數。
(1)你同意這個式子嗎？(2)請你繼續以下的推論。
＝＝
＝＝
＝＝
＝＝
(3)哪一個式子，可以使你發現 與1的大小關係呢？請你在式子前面打勾。(4)經由你所打勾的式子，你發現 與1的大小關係是……？
《活動3：友誼的橋樑》
12.未知數x也想加入這場轟動數學世界的遊戲，如果令 x＝0.9999999……
那麼 10x＝兩個式子相減，你可以得到？
13.經由以上的三個活動，你認為 與1之間的關係是什麼呢？
14.你會怎麼形容 ？15.這三個活動你最喜歡哪一個？為什麼？
編者註解：
1.此版設計主要有五個部分：(1)先備經驗的調查，問題1；(2)數線上的密室，問題2-10；(3)亦步亦趨，問題11；(4)友誼的橋樑，問題12；(5)反思與評價，問題13-15。2.此版設計延續二版的設計想法，部份新增與微調，包含：(1)新增教學實驗經驗設計問題1，調查學生在活動前，對兩數相關問題的認知表現；(2)新增問題6，橋接鐵軌與數線經驗；(3)調整問題10，請學生舉例，用來提示學生區別表徵不同與數值不同；(4)調整問題11，隱藏除法運算，引導學生從規律中歸納出 ；(5)調整問題12，減少學生錯誤解「x=9」的產生。
8.留下的是數學的結構
廖老師參與這次工作坊的過程，對於工作坊林教授對學習的觀點印象深刻，久久不能消退，她說：「有句話始終盤旋迴盪在研究者的心中，那是林福來教授在工作坊第二次上課時所說的一句話：『在數學學習之後，經過一個星期、一個月、三個月……學生還記得什麼？是情境性的？還是記得最後的結論？還是......？？我們期望學生留下的，是數學的結構。』」。當她在設計這份學習單時，設定的主要目的並非學生記住「 」這個結果，而是透過臆測活動引導，讓學生更清楚瞭解 ，並對數學有更濃厚的興趣，她說：「這份工作單的重點不在於，使學生記得 ＝1此結論（若他能記得固然很好，但這卻非此份工作單的最主要目的），而是希望學生能藉著，這份以臆測為策略的工作單引導，對於 的性質，有更多的認識，同時亦能引發對於數學世界的興趣（請姑且允許我們認為「懸疑」、「靈異」、「恐怖」、「驚豔」，都算是種感興趣的形容詞）」。
9.設計不能囿於成見廖老師從實驗結果發現，透過問題的提問可引導學生思考，並促成學生調整自己的概念，她說：「經由觀察學生作答，可發現學生能藉著一些提問，引發主動思考，而在經由一連串的主動思考後，個別學生亦能不同程度地調整自己的直觀感覺。」活動過程中，學生逐漸接受兩數相等的觀點，有些學生克制了直觀後認為「 」，但有些學生在既有直觀下接受相等並認為「 」這奇怪的結果，廖老師以工作坊林教授提到，禮記學記篇的「強而弗抑」加以詮釋，她說：「令人哭笑不得的是，有部分學生最後竟得出「 」的結論然而開心的是，學生至少將「＝」也納入可能裡。
但令人無言的是，這是個怎麼看、怎麼怪的式子阿！這時，也只能用老師說的「強而弗抑」來自我安慰了。」不過，更令廖老師驚訝的是，原本她認為學生應最不能接受，代數計算無窮循環小數的等值分數活動，實驗結果卻顯示，經過此活動後，更多的學生開始相信「 」。此外，這活動對學生的衝擊亦不小，還有不少學生認為這是最喜歡的活動，如學生寫下「因為它證明了 」、「太可怕了！」、「最恐怖」、「很靈異」、「算出來的數字令人驚豔」等，這些結果促使廖老師，反思自己設計活動的想法，她說：「令人驚訝的是，研究者認為最難令學生接受的第三個活動，竟有學生是因它才相信 ＝1，亦有為數不少的學生表示，最喜歡第三個活動。這也提醒研究者，未來在設計教學活動時，應盡量減少因個人的喜好與成見，而對於教學方法有所偏廢的情況。」
二、學生的表現1.「 」不是數！
從二版問題1與2的結果來看，雖29位學生一致認為1是數，但其中8位學生不認為 是數，但並沒有寫下說明，只有編號S11的學生寫下：「嗯！」但有趣的是，若 不是數，應不會出現在數線上，亦無法和1比大小，更無法論述和1相等，但試驗的結果有學生認為 不是數，卻在數線上標示比1小。
2. 小於1，但非常接近1！從問題4的數線標示結果來看，有6位學生標出 與1位置相同，但其中5位(S02, S08, S09, S11, S19)將標示塗大，只有1位(S24)直接標示；有17位學生將 標示不同於1的位置上；其餘6位學生則未標出 的位置，其中5位(S01, S06, S12, S18, S27)僅標出0.9的位置，另1位(S22)則是寫下「很接近很接近1」。顯然，除了無標示的學生和S24外，其他學生均認為接近的兩數是不同的。
從問題5的兩位置距離結果來看，學生表示距離的形式雖不同，但大多數學生(19位)認為兩者之間有距離，即兩數不同，如距離為「 」有6位(S01, S06, S13, S23, S28, S29)；「 」有2位(S05, S14)；「 」有3位(S10, S17, S19)；「≒0」、「一個小單位」和「0.1」則各有1位(S11, S12, S18)；「 」有5位(S02, S15, S16, S21, S25)。有少數學生(4位)認為兩者之間的距離為零，寫下距離為「0」的有4位(S07、S08、S20、S24)，不過學生表示距離為零時，並不意謂著兩數相等，就如S26表示距離「可以是0.0……1，也可以是沒有吧！」。最後有5位學生未寫下兩位置的距離，其中1位表示「不知」。綜觀以上兩個問題的結果，僅有1位學生明確表示「 」的觀點，其餘大部分學生認為，「 小於1，但非常接近1」的看法，但距離問題似乎對他們的認知產生干擾的作用。
3. 等於1嗎？從問題6的是非題來看，學生知道兩個不等值的數之間還有其他數，但有半數以上學生(18位)，將表徵方式不同的3和 看成不同(值)，顯見廖老師的問題設計，亦引出學生另一種直觀。從問題7的結果來看，學生觀點開始產生變化，前面問題是以 觀點，回答的學生開始產生疑惑，例如「S02： 好像是1，又好像不是。」、「S09：數學是矛盾的。」、「S10：有點矛盾， 可以等於1，也可以不等於1。」、「S13：嗯…那個， ！！（不肯定中）」、「S20：有點奇怪，好像一樣，又好像不一樣。」甚至原認為兩數不同，且有距離的學生，開始認為兩數相同，如S11、S19和S21三位均表示「 」此外，原將兩數標示相同位置，並認為距離為零的學生S24，卻表示「 與1的距離幾乎為0」。可見學生對兩數認知的改變十分多樣。
4. ！
從問題8的結果來看，已有6位學生經由這一系列真分數，以及其等值的無窮循環小數，如 ，可歸納出 。當再次提問比較 與1兩數大小時，有9位學生表示「 」，多於問題7的3位，但仍有12位學生認為「 」。從問題9代數方法，計算無窮循環小數的結果來看，17位學生可解出「x=1」，6位學生錯誤解出「x=9」，其餘則未解出。此活動最特別之處為，某些學生解出「x=1」時，對其原本的認知造成衝擊，例如，學生S13在問題1-8都顯示出「 」的觀點，但當他利用代數計算方式解出「x=1」時，寫下這個結果對他的衝擊：「太可怕了！」。經過前面三個主要活動：火車軌道(兩個不同實數之間的數與距離)、分數歸納(分數及其等值無窮循環小數)、代數演繹(代數計算無窮循環小數的等值分數)等，再由問題10重新讓學生描述兩數 與1的關係，有5位認為小於或等於：「 」，有12位認為相等：「 」，合計有17位學生，已將兩數相等列入關係中，可見經過這些活動後，尤其是經過代數計算活動，認為兩數會相等的學生更多！
5.有趣！好玩！令人驚豔！從問題11的結果來看，11位學生最喜歡火車軌道活動，他們大都認為「有趣」或「好玩」，較特別的是，有學生認為「可動動腦」、「因為很酷」；有3位學生最喜歡分數歸納活動，他們認為「好玩」、「很懸疑」；有7位學生最喜歡代數演繹活動，有些學生認為「因為它證明了 」，有些學生則認為「最恐怖」、「很靈異」、「算出來的數字令人驚豔」；有3位學生認為三個活動都喜歡，除了「好玩」的理由，有位學生表示「數學真奧妙」。
三、編者的話符號「 」，從數學本質上來看，它同時表徵潛在無窮累加過程「 」與潛在無窮累加的收斂結果1，此符號會被看成是表徵累加的過程，無論累加至第幾項，其結果都小過1，因此很容易推得 的觀點；從認知來看，人對潛在無窮過程的認知，常以直觀處理，且常是錯的，如有名的芝諾悖論，這樣的直觀具有立即性、確定性與持久性，不容易改變，例如廖老師訪談幾位成人的表現，即使曾學習過論證方式，卻仍以直觀回答，要改變不當的直觀，則可從解析下手，例如廖老師提問學生兩數相差多少？或兩數之間是否有數？引導學生從解析的觀點思考，產生與直觀不同的結果，造成認知衝突，引動學生思考，才有機會進行直觀的克制或調整。在此工作單設計內，便提供了幾個可能的策略，如引導學生以解析進行思考的提問，「兩數之差是多少？」、「兩數位置是否相同？」、「兩數之間是否還有其他數？」等；另外，引導學生從幾個無窮循環小數，以及其等值分數的案例，歸納形成兩數相等的臆測，以及利用國中學生可理解的，代數計算等值無窮循環小數的方式，論述兩數等值等，不同策略的結合與使用，皆值得再深入探索。
工作單設計與實驗：廖惠儀(高雄市大仁國中)林壽福(臺北市蘭雅國中)
吳如皓(臺北市蘭雅國中)文章編撰：陳建誠(明志科技大學)
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